三角函数公式大全-凯发网站

更新于:2014-01-15

  锐角三角函数公式

  sin α=∠α的对边 / 斜边

  cos α=∠α的邻边 / 斜边

  tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边

  cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边

  倍角公式

  sin2a=2sina?cosa

  cos2a=cosa^2-sina^2=1-2sina^2=2cosa^2-1

  tan2a=(2tana)/(1-tana^2)

  (注:sina^2 是sina的平方 sin2(a) )

  三倍角公式

  sin3α=4sinα·sin(π/3 α)sin(π/3-α)

  cos3α=4cosα·cos(π/3 α)cos(π/3-α)

  tan3a = tan a · tan(π/3 a)· tan(π/3-a)

  三倍角公式推导

  sin3a

  =sin(2a a)

  =sin2acosa cos2asina

  辅助角公式

  asinα bcosα=(a^2 b^2)^(1/2)sin(α t),其中

  sint=b/(a^2 b^2)^(1/2)

  cost=a/(a^2 b^2)^(1/2)

  tant=b/a

  asinα bcosα=(a^2 b^2)^(1/2)cos(α-t),tant=a/b

  降幂公式

  sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

  cos^2(α)=(1 cos(2α))/2=covers(2α)/2

  tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1 cos(2α))

  推导公式

  tanα cotα=2/sin2α

  tanα-cotα=-2cot2α

  1 cos2α=2cos^2α

  1-cos2α=2sin^2α

  1 sinα=(sinα/2 cosα/2)^2

  =2sina(1-sin²;a) (1-2sin²;a)sina

  =3sina-4sin³;a

  cos3a

  =cos(2a a)

  =cos2acosa-sin2asina

  =(2cos²;a-1)cosa-2(1-sin²;a)cosa

  =4cos³;a-3cosa

  sin3a=3sina-4sin³;a

  =4sina(3/4-sin²;a)

  =4sina[(√3/2)²;-sin²;a]

  =4sina(sin²;60°-sin²;a)

  =4sina(sin60° sina)(sin60°-sina)

  =4sina*2sin[(60 a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

  =4sinasin(60° a)sin(60°-a)

  cos3a=4cos³;a-3cosa

  =4cosa(cos²;a-3/4)

  =4cosa[cos²;a-(√3/2)²;]

  =4cosa(cos²;a-cos²;30°)

  =4cosa(cosa cos30°)(cosa-cos30°)

  =4cosa*2cos[(a 30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a 30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

  =-4cosasin(a 30°)sin(a-30°)

  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90° (60° a)]

  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60° a)]

  =4cosacos(60°-a)cos(60° a)

  上述两式相比可得

  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60° a)

  半角公式

  tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1 cosa);

  cot(a/2)=sina/(1-cosa)=(1 cosa)/sina.

  sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

  cos^2(a/2)=(1 cos(a))/2

  tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1 cos(a))

  三角和

  sin(α β γ)=sinα·cosβ·cosγ cosα·sinβ·cosγ cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

  cos(α β γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

  tan(α β γ)=(tanα tanβ tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

  两角和差

  cos(α β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

  cos(α-β)=cosα·cosβ sinα·sinβ

  sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

  tan(α β)=(tanα tanβ)/(1-tanα·tanβ)

  tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1 tanα·tanβ)

  和差化积

  sinθ sinφ = 2 sin[(θ φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

  sinθ-sinφ = 2 cos[(θ φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

  cosθ cosφ = 2 cos[(θ φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

  cosθ-cosφ = -2 sin[(θ φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

  tana tanb=sin(a b)/cosacosb=tan(a b)(1-tanatanb)

  tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb=tan(a-b)(1 tanatanb)

  积化和差

  sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α β)] /2

  cosαcosβ = [cos(α β) cos(α-β)]/2

  sinαcosβ = [sin(α β) sin(α-β)]/2

  cosαsinβ = [sin(α β)-sin(α-β)]/2

  诱导公式

  sin(-α) = -sinα

  cos(-α) = cosα

  tan (—a)=-tanα

  sin(π/2-α) = cosα

  cos(π/2-α) = sinα

  sin(π/2 α) = cosα

  cos(π/2 α) = -sinα

  sin(π-α) = sinα

  cos(π-α) = -cosα

  sin(π α) = -sinα

  cos(π α) = -cosα

  tana= sina/cosa

  tan(π/2+α)=-cotα

  tan(π/2-α)=cotα

  tan(π-α)=-tanα

  tan(π+α)=tanα

  诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限

  万能公式

  sinα=2tan(α/2)/[1 tan^(α/2)]

  cosα=[1-tan^(α/2)]/1 tan^(α/2)]

  tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]

  其它公式

  (1)(sinα)^2 (cosα)^2=1

  (2)1 (tanα)^2=(secα)^2

  (3)1 (cotα)^2=(cscα)^2

  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可

  (4)对于任意非直角三角形,总有

  tana tanb tanc=tanatanbtanc

  证:

  a b=π-c

  tan(a b)=tan(π-c)

  (tana tanb)/(1-tanatanb)=(tanπ-tanc)/(1 tanπtanc)

  整理可得

  tana tanb tanc=tanatanbtanc

  同样可以得证,当x y z=nπ(n∈z)时,该关系式也成立

  由tana tanb tanc=tanatanbtanc可得出以下结论

  (5)cotacotb cotacotc cotbcotc=1

  (6)cot(a/2) cot(b/2) cot(c/2)=cot(a/2)cot(b/2)cot(c/2)

  (7)(cosa)^2 (cosb)^2 (cosc)^2=1-2cosacosbcosc

  (8)(sina)^2 (sinb)^2 (sinc)^2=2 2cosacosbcosc

  (9)sinα sin(α 2π/n) sin(α 2π*2/n) sin(α 2π*3/n) …… sin[α 2π*(n-1)/n]=0

  cosα cos(α 2π/n) cos(α 2π*2/n) cos(α 2π*3/n) …… cos[α 2π*(n-1)/n]=0 以及

  sin^2(α) sin^2(α-2π/3) sin^2(α 2π/3)=3/2

  tanatanbtan(a b) tana tanb-tan(a b)=0

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